ポワッソン分布に於ける加法性の証明

X₁、X₂が独立で、 それぞれ平均a₁、a₂のポワッソン分布に従うとき、 Y=X₁+X₂は平均 a₁+a₂のポワッソン分布に従う。

上記の命題が真であることを証明するには…

以下の様に考える。
命題を式にすると 100dpi P[Y=n]=sum^{n}_{k=0}P[X_1=k]P[X_2=n-k] 確率変数Nが平均aのポワッソン分布に従うとき 100dpi P[N=k]=e^{-a}frac{a^k}{k!},k=0,1,2,..., が成り立つから更に 100dpi begin{align*} sum^{n}_{k=0}e^{-a_1}frac{a_1^k}{k!} cdot e^{-a_2}frac{a_2^{n-k}}{(n-k)!} &=& sum^{n}_{k=0}e^{-a_1}e^{-a_2}frac{a_1^ka_2^{n-k}}{k!(n-k)!} &=& e^{-a_1}e^{-a_2}frac{1}{n!}sum^{n}_{k=0}frac{n!}{k!(n-k)!}a_1^ka_2^{n-k} end{align*} と展開出来る。ここで二項定理に拠り 100dpi (a_1+a_2)^n=sum^{n}_{k=0}frac{n!}{k!(n-k)!}a_1^ka_2^{n-k} であるから右辺は以下にまとめられる。 100dpi e^{-a_1-a_2}frac{(a_1+a_2)^n}{n!} 拠って 100dpi P[Y=n]=e^{-(a_1+a_2)}frac{(a_1+a_2)^n}{n!} であるから、 確率変数Yは平均(a_1+a_2)のポワッソン分布に従う。 Q.E.D.