ポワッソン分布に於ける加法性の証明

X₁、X₂が独立で、それぞれ平均a₁、a₂のポワッソン分布に従うとき、 Y=X₁+X₂は平均 a₁+a₂のポワッソン分布に従う。

上記の命題が真であることを証明するには…

以下の様に考える。
命題を式にすると $100dpi P[Y=n]=sum^{n}_{k=0}P[X_1=k]P[X_2=n-k]$ 確率変数Nが平均aのポワッソン分布に従うとき $100dpi P[N=k]=e^{-a}frac{a^k}{k!},k=0,1,2,...,$ が成り立つから更に $100dpi begin{align*} sum^{n}_{k=0}e^{-a_1}frac{a_1^k}{k!} cdot e^{-a_2}frac{a_2^{n-k}}{(n-k)!} &=& sum^{n}_{k=0}e^{-a_1}e^{-a_2}frac{a_1^ka_2^{n-k}}{k!(n-k)!} &=& e^{-a_1}e^{-a_2}frac{1}{n!}sum^{n}_{k=0}frac{n!}{k!(n-k)!}a_1^ka_2^{n-k} end{align*}$ と展開出来る。ここで二項定理に拠り $100dpi (a_1+a_2)^n=sum^{n}_{k=0}frac{n!}{k!(n-k)!}a_1^ka_2^{n-k}$ であるから右辺は以下にまとめられる。 $100dpi e^{-a_1-a_2}frac{(a_1+a_2)^n}{n!}$ 拠って $100dpi P[Y=n]=e^{-(a_1+a_2)}frac{(a_1+a_2)^n}{n!}$ であるから、確率変数Yは平均 $(a_1+a_2)$ のポワッソン分布に従う。 Q.E.D.

2件のコメント

ぐるなびアフィリエイト運営事務局 より:

2013年2月22日 11:28 AM

管理者様
はじめまして。
ぐるなび食市場アフィリエイト事務局の袴田と申します。
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http://aff.gnavi.co.jp/
Da-rin Production より:

2013年3月6日 4:46 PM

こんにちは、trip代表のDa-rinと申します。
足跡をいただいたので閲覧させていただいたら、お名前が似てて少し焦ってしまいました。
これも縁ですので、今後は宜しくお願い申しあげます。

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